3.7 \(\int \frac {\sin ^2(x)}{a+b \cos (x)+c \cos ^2(x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=260 \[ \frac {2 \left (b-\frac {b^2-2 c (a+c)}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\tan \left (\frac {x}{2}\right ) \sqrt {-\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c}}{\sqrt {-\sqrt {b^2-4 a c}+b+2 c}}\right )}{c \sqrt {-\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c} \sqrt {-\sqrt {b^2-4 a c}+b+2 c}}+\frac {2 \left (\frac {b^2-2 c (a+c)}{\sqrt {b^2-4 a c}}+b\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\tan \left (\frac {x}{2}\right ) \sqrt {\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c}}{\sqrt {\sqrt {b^2-4 a c}+b+2 c}}\right )}{c \sqrt {\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c} \sqrt {\sqrt {b^2-4 a c}+b+2 c}}-\frac {x}{c} \]

[Out]

-x/c+2*arctan((b-2*c-(-4*a*c+b^2)^(1/2))^(1/2)*tan(1/2*x)/(b+2*c-(-4*a*c+b^2)^(1/2))^(1/2))*(b+(-b^2+2*c*(a+c)
)/(-4*a*c+b^2)^(1/2))/c/(b-2*c-(-4*a*c+b^2)^(1/2))^(1/2)/(b+2*c-(-4*a*c+b^2)^(1/2))^(1/2)+2*arctan((b-2*c+(-4*
a*c+b^2)^(1/2))^(1/2)*tan(1/2*x)/(b+2*c+(-4*a*c+b^2)^(1/2))^(1/2))*(b+(b^2-2*c*(a+c))/(-4*a*c+b^2)^(1/2))/c/(b
-2*c+(-4*a*c+b^2)^(1/2))^(1/2)/(b+2*c+(-4*a*c+b^2)^(1/2))^(1/2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.28, antiderivative size = 260, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 7, number of rules used = 4, integrand size = 19, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.210, Rules used = {3267, 3293, 2659, 205} \[ \frac {2 \left (b-\frac {b^2-2 c (a+c)}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\tan \left (\frac {x}{2}\right ) \sqrt {-\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c}}{\sqrt {-\sqrt {b^2-4 a c}+b+2 c}}\right )}{c \sqrt {-\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c} \sqrt {-\sqrt {b^2-4 a c}+b+2 c}}+\frac {2 \left (\frac {b^2-2 c (a+c)}{\sqrt {b^2-4 a c}}+b\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\tan \left (\frac {x}{2}\right ) \sqrt {\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c}}{\sqrt {\sqrt {b^2-4 a c}+b+2 c}}\right )}{c \sqrt {\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c} \sqrt {\sqrt {b^2-4 a c}+b+2 c}}-\frac {x}{c} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sin[x]^2/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2),x]

[Out]

-(x/c) + (2*(b - (b^2 - 2*c*(a + c))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sq
rt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c*Sqrt[b - 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + (2
*(b + (b^2 - 2*c*(a + c))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Tan[x/2])/Sqrt[b + 2*c
+ Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c*Sqrt[b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*Sqrt[b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c]])

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 2659

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[(2*e)/d, Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3267

Int[((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n_.)*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^(n2_.)*(c_.))^(p_.)*sin[(d_.) + (e_
.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandTrig[(1 - cos[d + e*x]^2)^(m/2)*(a + b*cos[d + e*x]^n + c*cos[d + e*x]^
(2*n))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[m/2] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && Integ
ersQ[n, p]

Rule 3293

Int[(cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(B_.) + (A_))/((a_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]*(b_.) + cos[(d_.) + (e_.)*(x_)]^2*
(c_.)), x_Symbol] :> Module[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Dist[B + (b*B - 2*A*c)/q, Int[1/(b + q + 2*c*Cos[d + e*x
]), x], x] + Dist[B - (b*B - 2*A*c)/q, Int[1/(b - q + 2*c*Cos[d + e*x]), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, A, B
}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\sin ^2(x)}{a+b \cos (x)+c \cos ^2(x)} \, dx &=\int \left (-\frac {1}{c}+\frac {a \left (1+\frac {c}{a}\right )+b \cos (x)}{c \left (a+b \cos (x)+c \cos ^2(x)\right )}\right ) \, dx\\ &=-\frac {x}{c}+\frac {\int \frac {a \left (1+\frac {c}{a}\right )+b \cos (x)}{a+b \cos (x)+c \cos ^2(x)} \, dx}{c}\\ &=-\frac {x}{c}+\frac {\left (b-\frac {b^2-2 c (a+c)}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right ) \int \frac {1}{b-\sqrt {b^2-4 a c}+2 c \cos (x)} \, dx}{c}+\frac {\left (b+\frac {b^2-2 c (a+c)}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right ) \int \frac {1}{b+\sqrt {b^2-4 a c}+2 c \cos (x)} \, dx}{c}\\ &=-\frac {x}{c}+\frac {\left (2 \left (b-\frac {b^2-2 c (a+c)}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right )\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{b+2 c-\sqrt {b^2-4 a c}+\left (b-2 c-\sqrt {b^2-4 a c}\right ) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {x}{2}\right )\right )}{c}+\frac {\left (2 \left (b+\frac {b^2-2 c (a+c)}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right )\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{b+2 c+\sqrt {b^2-4 a c}+\left (b-2 c+\sqrt {b^2-4 a c}\right ) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {x}{2}\right )\right )}{c}\\ &=-\frac {x}{c}+\frac {2 \left (b-\frac {b^2-2 c (a+c)}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b-2 c-\sqrt {b^2-4 a c}} \tan \left (\frac {x}{2}\right )}{\sqrt {b+2 c-\sqrt {b^2-4 a c}}}\right )}{c \sqrt {b-2 c-\sqrt {b^2-4 a c}} \sqrt {b+2 c-\sqrt {b^2-4 a c}}}+\frac {2 \left (b+\frac {b^2-2 c (a+c)}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b-2 c+\sqrt {b^2-4 a c}} \tan \left (\frac {x}{2}\right )}{\sqrt {b+2 c+\sqrt {b^2-4 a c}}}\right )}{c \sqrt {b-2 c+\sqrt {b^2-4 a c}} \sqrt {b+2 c+\sqrt {b^2-4 a c}}}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.63, size = 238, normalized size = 0.92 \[ \frac {x \left (-\sqrt {b^2-4 a c}\right )-\frac {\left (b \sqrt {b^2-4 a c}-2 c (a+c)+b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {\tan \left (\frac {x}{2}\right ) \left (\sqrt {b^2-4 a c}+b-2 c\right )}{\sqrt {-2 b \sqrt {b^2-4 a c}+4 c (a+c)-2 b^2}}\right )}{\sqrt {-\frac {1}{2} b \sqrt {b^2-4 a c}+c (a+c)-\frac {b^2}{2}}}+\sqrt {2 b \sqrt {b^2-4 a c}+4 c (a+c)-2 b^2} \tanh ^{-1}\left (\frac {\tan \left (\frac {x}{2}\right ) \left (\sqrt {b^2-4 a c}-b+2 c\right )}{\sqrt {2 b \sqrt {b^2-4 a c}+4 c (a+c)-2 b^2}}\right )}{c \sqrt {b^2-4 a c}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Sin[x]^2/(a + b*Cos[x] + c*Cos[x]^2),x]

[Out]

(-(Sqrt[b^2 - 4*a*c]*x) - ((b^2 - 2*c*(a + c) + b*Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTanh[((b - 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Ta
n[x/2])/Sqrt[-2*b^2 + 4*c*(a + c) - 2*b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/Sqrt[-1/2*b^2 + c*(a + c) - (b*Sqrt[b^2 - 4*a*c])
/2] + Sqrt[-2*b^2 + 4*c*(a + c) + 2*b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]*ArcTanh[((-b + 2*c + Sqrt[b^2 - 4*a*c])*Tan[x/2])/Sqr
t[-2*b^2 + 4*c*(a + c) + 2*b*Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(c*Sqrt[b^2 - 4*a*c])

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 1.11, size = 971, normalized size = 3.73 \[ -\frac {\sqrt {2} c \sqrt {-\frac {b^{2} - 2 \, a c - 2 \, c^{2} + {\left (b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}\right )} \sqrt {\frac {b^{2}}{b^{2} c^{4} - 4 \, a c^{5}}}}{b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}}} \log \left (\sqrt {2} {\left (b^{2} c^{3} - 4 \, a c^{4}\right )} \sqrt {\frac {b^{2}}{b^{2} c^{4} - 4 \, a c^{5}}} \sqrt {-\frac {b^{2} - 2 \, a c - 2 \, c^{2} + {\left (b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}\right )} \sqrt {\frac {b^{2}}{b^{2} c^{4} - 4 \, a c^{5}}}}{b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}}} \sin \relax (x) + b^{2} \cos \relax (x) + {\left (b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}\right )} \sqrt {\frac {b^{2}}{b^{2} c^{4} - 4 \, a c^{5}}} \cos \relax (x) + 2 \, b c\right ) - \sqrt {2} c \sqrt {-\frac {b^{2} - 2 \, a c - 2 \, c^{2} + {\left (b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}\right )} \sqrt {\frac {b^{2}}{b^{2} c^{4} - 4 \, a c^{5}}}}{b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}}} \log \left (-\sqrt {2} {\left (b^{2} c^{3} - 4 \, a c^{4}\right )} \sqrt {\frac {b^{2}}{b^{2} c^{4} - 4 \, a c^{5}}} \sqrt {-\frac {b^{2} - 2 \, a c - 2 \, c^{2} + {\left (b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}\right )} \sqrt {\frac {b^{2}}{b^{2} c^{4} - 4 \, a c^{5}}}}{b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}}} \sin \relax (x) + b^{2} \cos \relax (x) + {\left (b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}\right )} \sqrt {\frac {b^{2}}{b^{2} c^{4} - 4 \, a c^{5}}} \cos \relax (x) + 2 \, b c\right ) + \sqrt {2} c \sqrt {-\frac {b^{2} - 2 \, a c - 2 \, c^{2} - {\left (b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}\right )} \sqrt {\frac {b^{2}}{b^{2} c^{4} - 4 \, a c^{5}}}}{b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}}} \log \left (\sqrt {2} {\left (b^{2} c^{3} - 4 \, a c^{4}\right )} \sqrt {\frac {b^{2}}{b^{2} c^{4} - 4 \, a c^{5}}} \sqrt {-\frac {b^{2} - 2 \, a c - 2 \, c^{2} - {\left (b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}\right )} \sqrt {\frac {b^{2}}{b^{2} c^{4} - 4 \, a c^{5}}}}{b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}}} \sin \relax (x) - b^{2} \cos \relax (x) + {\left (b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}\right )} \sqrt {\frac {b^{2}}{b^{2} c^{4} - 4 \, a c^{5}}} \cos \relax (x) - 2 \, b c\right ) - \sqrt {2} c \sqrt {-\frac {b^{2} - 2 \, a c - 2 \, c^{2} - {\left (b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}\right )} \sqrt {\frac {b^{2}}{b^{2} c^{4} - 4 \, a c^{5}}}}{b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}}} \log \left (-\sqrt {2} {\left (b^{2} c^{3} - 4 \, a c^{4}\right )} \sqrt {\frac {b^{2}}{b^{2} c^{4} - 4 \, a c^{5}}} \sqrt {-\frac {b^{2} - 2 \, a c - 2 \, c^{2} - {\left (b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}\right )} \sqrt {\frac {b^{2}}{b^{2} c^{4} - 4 \, a c^{5}}}}{b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}}} \sin \relax (x) - b^{2} \cos \relax (x) + {\left (b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}\right )} \sqrt {\frac {b^{2}}{b^{2} c^{4} - 4 \, a c^{5}}} \cos \relax (x) - 2 \, b c\right ) + 4 \, x}{4 \, c} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sin(x)^2/(a+b*cos(x)+c*cos(x)^2),x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/4*(sqrt(2)*c*sqrt(-(b^2 - 2*a*c - 2*c^2 + (b^2*c^2 - 4*a*c^3)*sqrt(b^2/(b^2*c^4 - 4*a*c^5)))/(b^2*c^2 - 4*a
*c^3))*log(sqrt(2)*(b^2*c^3 - 4*a*c^4)*sqrt(b^2/(b^2*c^4 - 4*a*c^5))*sqrt(-(b^2 - 2*a*c - 2*c^2 + (b^2*c^2 - 4
*a*c^3)*sqrt(b^2/(b^2*c^4 - 4*a*c^5)))/(b^2*c^2 - 4*a*c^3))*sin(x) + b^2*cos(x) + (b^2*c^2 - 4*a*c^3)*sqrt(b^2
/(b^2*c^4 - 4*a*c^5))*cos(x) + 2*b*c) - sqrt(2)*c*sqrt(-(b^2 - 2*a*c - 2*c^2 + (b^2*c^2 - 4*a*c^3)*sqrt(b^2/(b
^2*c^4 - 4*a*c^5)))/(b^2*c^2 - 4*a*c^3))*log(-sqrt(2)*(b^2*c^3 - 4*a*c^4)*sqrt(b^2/(b^2*c^4 - 4*a*c^5))*sqrt(-
(b^2 - 2*a*c - 2*c^2 + (b^2*c^2 - 4*a*c^3)*sqrt(b^2/(b^2*c^4 - 4*a*c^5)))/(b^2*c^2 - 4*a*c^3))*sin(x) + b^2*co
s(x) + (b^2*c^2 - 4*a*c^3)*sqrt(b^2/(b^2*c^4 - 4*a*c^5))*cos(x) + 2*b*c) + sqrt(2)*c*sqrt(-(b^2 - 2*a*c - 2*c^
2 - (b^2*c^2 - 4*a*c^3)*sqrt(b^2/(b^2*c^4 - 4*a*c^5)))/(b^2*c^2 - 4*a*c^3))*log(sqrt(2)*(b^2*c^3 - 4*a*c^4)*sq
rt(b^2/(b^2*c^4 - 4*a*c^5))*sqrt(-(b^2 - 2*a*c - 2*c^2 - (b^2*c^2 - 4*a*c^3)*sqrt(b^2/(b^2*c^4 - 4*a*c^5)))/(b
^2*c^2 - 4*a*c^3))*sin(x) - b^2*cos(x) + (b^2*c^2 - 4*a*c^3)*sqrt(b^2/(b^2*c^4 - 4*a*c^5))*cos(x) - 2*b*c) - s
qrt(2)*c*sqrt(-(b^2 - 2*a*c - 2*c^2 - (b^2*c^2 - 4*a*c^3)*sqrt(b^2/(b^2*c^4 - 4*a*c^5)))/(b^2*c^2 - 4*a*c^3))*
log(-sqrt(2)*(b^2*c^3 - 4*a*c^4)*sqrt(b^2/(b^2*c^4 - 4*a*c^5))*sqrt(-(b^2 - 2*a*c - 2*c^2 - (b^2*c^2 - 4*a*c^3
)*sqrt(b^2/(b^2*c^4 - 4*a*c^5)))/(b^2*c^2 - 4*a*c^3))*sin(x) - b^2*cos(x) + (b^2*c^2 - 4*a*c^3)*sqrt(b^2/(b^2*
c^4 - 4*a*c^5))*cos(x) - 2*b*c) + 4*x)/c

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 177.35, size = 6564, normalized size = 25.25 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sin(x)^2/(a+b*cos(x)+c*cos(x)^2),x, algorithm="giac")

[Out]

-x/c - ((2*a^2*b^4 - 4*a*b^5 + 2*b^6 - 16*a^3*b^2*c + 32*a^2*b^3*c - 12*a*b^4*c - 4*b^5*c + 32*a^4*c^2 - 64*a^
3*b*c^2 + 32*a*b^3*c^2 + 2*b^4*c^2 + 64*a^3*c^3 - 64*a^2*b*c^3 - 16*a*b^2*c^3 + 32*a^2*c^4 + 3*sqrt(a^2 - a*b
+ b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*b^2 - 2*(b^2 - 4*a*c)*a^2*b^2 - 2*sqrt(a^2
- a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b^3 + 4*(b^2 - 4*a*c)*a*b^3 - 5*sqrt(a^
2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^4 - 2*(b^2 - 4*a*c)*b^4 - 12*sqrt(a^2
- a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^3*c + 8*(b^2 - 4*a*c)*a^3*c + 8*sqrt(a
^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*b*c - 16*(b^2 - 4*a*c)*a^2*b*c + 3
4*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b^2*c + 4*(b^2 - 4*a*c)*a*b^
2*c + 6*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^3*c + 4*(b^2 - 4*a*c)*
b^3*c - 56*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*c^2 + 16*(b^2 - 4
*a*c)*a^2*c^2 - 24*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b*c^2 - 16*
(b^2 - 4*a*c)*a*b*c^2 - 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^2*c^
2 - 2*(b^2 - 4*a*c)*b^2*c^2 + 20*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)
*a*c^3 + 8*(b^2 - 4*a*c)*a*c^3)*c^2*abs(a - b + c) + (4*a^2*b^4*c - 4*b^6*c - 32*a^3*b^2*c^2 + 40*a*b^4*c^2 +
64*a^4*c^3 - 128*a^2*b^2*c^3 + 4*b^4*c^3 + 128*a^3*c^4 - 32*a*b^2*c^4 + 64*a^2*c^5 - 3*sqrt(a^2 - a*b + b*c -
c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^3*b^2*c - sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a
^2*b^3*c + 7*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b^4*c + 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^
2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*b^5*c + 12*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^4*
c^2 + 4*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^3*b*c^2 - 45*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2
- sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^2*b^2*c^2 - 38*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*
a*b^3*c^2 - sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*b^4*c^2 + 68*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^
2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^3*c^3 + 72*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^
2*b*c^3 - 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b^2*c^3 - sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2
- sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*b^3*c^3 + 36*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^2
*c^4 + 4*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b*c^4 + 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 -
sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*b^2*c^4 - 20*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*c^5
- 4*(b^2 - 4*a*c)*a^2*b^2*c + 4*(b^2 - 4*a*c)*b^4*c + 16*(b^2 - 4*a*c)*a^3*c^2 - 24*(b^2 - 4*a*c)*a*b^2*c^2 +
32*(b^2 - 4*a*c)*a^2*c^3 - 4*(b^2 - 4*a*c)*b^2*c^3 + 16*(b^2 - 4*a*c)*a*c^4)*abs(a - b + c)*abs(c) + (2*a^3*b^
3*c^2 - 4*a^2*b^4*c^2 + 2*a*b^5*c^2 - 8*a^4*b*c^3 + 20*a^3*b^2*c^3 - 14*a^2*b^3*c^3 + 4*a*b^4*c^3 - 2*b^5*c^3
- 16*a^4*c^4 + 24*a^3*b*c^4 - 12*a^2*b^2*c^4 + 6*a*b^3*c^4 - 16*a^3*c^5 + 8*a^2*b*c^5 - 4*a*b^2*c^5 + 6*b^3*c^
5 + 16*a^2*c^6 - 24*a*b*c^6 - 4*b^2*c^6 + 16*a*c^7 + 3*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b +
c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^3*b*c^2 - 2*(b^2 - 4*a*c)*a^3*b*c^2 - 2*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c
)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*b^2*c^2 + 4*(b^2 - 4*a*c)*a^2*b^2*c^2 - 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sq
rt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b^3*c^2 - 2*(b^2 - 4*a*c)*a*b^3*c^2 + 6*sqrt(a^2 - a*b + b*c
- c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^3*c^3 - 4*(b^2 - 4*a*c)*a^3*c^3 + 7*sqrt(a^2 - a*b
+ b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*b*c^3 + 6*(b^2 - 4*a*c)*a^2*b*c^3 - 2*sqrt(
a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b^2*c^3 - 4*(b^2 - 4*a*c)*a*b^2*c^3
+ 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^3*c^3 + 2*(b^2 - 4*a*c)*b
^3*c^3 + 22*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*c^4 - 4*(b^2 - 4
*a*c)*a^2*c^4 - 3*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b*c^4 + 2*(b
^2 - 4*a*c)*a*b*c^4 + 4*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^2*c^4
- 38*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*c^5 + 4*(b^2 - 4*a*c)*a*c
^5 - 7*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b*c^5 - 6*(b^2 - 4*a*c)*b
*c^5 + 10*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 - sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*c^6 + 4*(b^2 - 4*a*c)*
c^6)*abs(a - b + c))*(pi*floor(1/2*x/pi + 1/2) + arctan(2*sqrt(1/2)*tan(1/2*x)/sqrt((2*a*c - 2*c^2 + sqrt(-4*(
a*c + b*c + c^2)*(a*c - b*c + c^2) + 4*(a*c - c^2)^2))/(a*c - b*c + c^2))))/((3*a^5*b^2*c^2 - 5*a^4*b^3*c^2 -
6*a^3*b^4*c^2 + 10*a^2*b^5*c^2 + 3*a*b^6*c^2 - 5*b^7*c^2 - 12*a^6*c^3 + 20*a^5*b*c^3 + 47*a^4*b^2*c^3 - 60*a^3
*b^3*c^3 - 46*a^2*b^4*c^3 + 40*a*b^5*c^3 + 11*b^6*c^3 - 92*a^5*c^4 + 80*a^4*b*c^4 + 182*a^3*b^2*c^4 - 94*a^2*b
^3*c^4 - 78*a*b^4*c^4 - 6*b^5*c^4 - 184*a^4*c^5 + 56*a^3*b*c^5 + 166*a^2*b^2*c^5 + 36*a*b^3*c^5 - 6*b^4*c^5 -
120*a^3*c^6 - 48*a^2*b*c^6 + 23*a*b^2*c^6 + 11*b^3*c^6 + 4*a^2*c^7 - 44*a*b*c^7 - 5*b^2*c^7 + 20*a*c^8)*abs(c)
) + ((2*a^2*b^4 - 4*a*b^5 + 2*b^6 - 16*a^3*b^2*c + 32*a^2*b^3*c - 12*a*b^4*c - 4*b^5*c + 32*a^4*c^2 - 64*a^3*b
*c^2 + 32*a*b^3*c^2 + 2*b^4*c^2 + 64*a^3*c^3 - 64*a^2*b*c^3 - 16*a*b^2*c^3 + 32*a^2*c^4 + 3*sqrt(a^2 - a*b + b
*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*b^2 - 2*(b^2 - 4*a*c)*a^2*b^2 - 2*sqrt(a^2 - a
*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b^3 + 4*(b^2 - 4*a*c)*a*b^3 - 5*sqrt(a^2 -
a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^4 - 2*(b^2 - 4*a*c)*b^4 - 12*sqrt(a^2 -
a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^3*c + 8*(b^2 - 4*a*c)*a^3*c + 8*sqrt(a^2
- a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*b*c - 16*(b^2 - 4*a*c)*a^2*b*c + 34*s
qrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b^2*c + 4*(b^2 - 4*a*c)*a*b^2*c
+ 6*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^3*c + 4*(b^2 - 4*a*c)*b^3
*c - 56*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*c^2 + 16*(b^2 - 4*a*
c)*a^2*c^2 - 24*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b*c^2 - 16*(b^
2 - 4*a*c)*a*b*c^2 - 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^2*c^2 -
2*(b^2 - 4*a*c)*b^2*c^2 + 20*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*
c^3 + 8*(b^2 - 4*a*c)*a*c^3)*c^2*abs(a - b + c) + (4*a^2*b^4*c - 4*b^6*c - 32*a^3*b^2*c^2 + 40*a*b^4*c^2 + 64*
a^4*c^3 - 128*a^2*b^2*c^3 + 4*b^4*c^3 + 128*a^3*c^4 - 32*a*b^2*c^4 + 64*a^2*c^5 + 3*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2
+ sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^3*b^2*c + sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^2*
b^3*c - 7*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b^4*c - 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 +
sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*b^5*c - 12*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^4*c^2
- 4*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^3*b*c^2 + 45*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + s
qrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^2*b^2*c^2 + 38*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b
^3*c^2 + sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*b^4*c^2 - 68*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 +
sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^3*c^3 - 72*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^2*b
*c^3 + 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b^2*c^3 + sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 +
sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*b^3*c^3 - 36*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a^2*c^
4 - 4*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*b*c^4 - 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqr
t(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*b^2*c^4 + 20*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*a*c^5 - 4
*(b^2 - 4*a*c)*a^2*b^2*c + 4*(b^2 - 4*a*c)*b^4*c + 16*(b^2 - 4*a*c)*a^3*c^2 - 24*(b^2 - 4*a*c)*a*b^2*c^2 + 32*
(b^2 - 4*a*c)*a^2*c^3 - 4*(b^2 - 4*a*c)*b^2*c^3 + 16*(b^2 - 4*a*c)*a*c^4)*abs(a - b + c)*abs(c) + (2*a^3*b^3*c
^2 - 4*a^2*b^4*c^2 + 2*a*b^5*c^2 - 8*a^4*b*c^3 + 20*a^3*b^2*c^3 - 14*a^2*b^3*c^3 + 4*a*b^4*c^3 - 2*b^5*c^3 - 1
6*a^4*c^4 + 24*a^3*b*c^4 - 12*a^2*b^2*c^4 + 6*a*b^3*c^4 - 16*a^3*c^5 + 8*a^2*b*c^5 - 4*a*b^2*c^5 + 6*b^3*c^5 +
16*a^2*c^6 - 24*a*b*c^6 - 4*b^2*c^6 + 16*a*c^7 + 3*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c)
)*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^3*b*c^2 - 2*(b^2 - 4*a*c)*a^3*b*c^2 - 2*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(
a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*b^2*c^2 + 4*(b^2 - 4*a*c)*a^2*b^2*c^2 - 5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(
b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b^3*c^2 - 2*(b^2 - 4*a*c)*a*b^3*c^2 + 6*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c
^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^3*c^3 - 4*(b^2 - 4*a*c)*a^3*c^3 + 7*sqrt(a^2 - a*b + b
*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*b*c^3 + 6*(b^2 - 4*a*c)*a^2*b*c^3 - 2*sqrt(a^2
- a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b^2*c^3 - 4*(b^2 - 4*a*c)*a*b^2*c^3 +
5*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^3*c^3 + 2*(b^2 - 4*a*c)*b^3*
c^3 + 22*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a^2*c^4 - 4*(b^2 - 4*a*
c)*a^2*c^4 - 3*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*b*c^4 + 2*(b^2
- 4*a*c)*a*b*c^4 + 4*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b^2*c^4 - 3
8*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*a*c^5 + 4*(b^2 - 4*a*c)*a*c^5
- 7*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*b*c^5 - 6*(b^2 - 4*a*c)*b*c^
5 + 10*sqrt(a^2 - a*b + b*c - c^2 + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(a - b + c))*sqrt(b^2 - 4*a*c)*c^6 + 4*(b^2 - 4*a*c)*c^6
)*abs(a - b + c))*(pi*floor(1/2*x/pi + 1/2) + arctan(2*sqrt(1/2)*tan(1/2*x)/sqrt((2*a*c - 2*c^2 - sqrt(-4*(a*c
+ b*c + c^2)*(a*c - b*c + c^2) + 4*(a*c - c^2)^2))/(a*c - b*c + c^2))))/((3*a^5*b^2*c^2 - 5*a^4*b^3*c^2 - 6*a
^3*b^4*c^2 + 10*a^2*b^5*c^2 + 3*a*b^6*c^2 - 5*b^7*c^2 - 12*a^6*c^3 + 20*a^5*b*c^3 + 47*a^4*b^2*c^3 - 60*a^3*b^
3*c^3 - 46*a^2*b^4*c^3 + 40*a*b^5*c^3 + 11*b^6*c^3 - 92*a^5*c^4 + 80*a^4*b*c^4 + 182*a^3*b^2*c^4 - 94*a^2*b^3*
c^4 - 78*a*b^4*c^4 - 6*b^5*c^4 - 184*a^4*c^5 + 56*a^3*b*c^5 + 166*a^2*b^2*c^5 + 36*a*b^3*c^5 - 6*b^4*c^5 - 120
*a^3*c^6 - 48*a^2*b*c^6 + 23*a*b^2*c^6 + 11*b^3*c^6 + 4*a^2*c^7 - 44*a*b*c^7 - 5*b^2*c^7 + 20*a*c^8)*abs(c))

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.11, size = 1157, normalized size = 4.45 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sin(x)^2/(a+b*cos(x)+c*cos(x)^2),x)

[Out]

1/c*a/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^
(1/2))+1/c*a/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c
+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))*b+2*a/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a
+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))+1/c*a/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arct
an((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))-1/c*a/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+
a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))*b-2*a/(-4*a*c+b^2)^(1/
2)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)
)-1/c*b/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c)
)^(1/2))-1/c/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c
+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))*b^2-b/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a
+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))-1/c*b/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arct
an((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))+1/c/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-
c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))*b^2+b/(-4*a*c+b^2)^(1/2)
/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))+
1/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2
))+2*c/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2)*arctanh((-a+b-c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^
(1/2)-a+c)*(a-b+c))^(1/2))+1/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)
^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))-2*c/(-4*a*c+b^2)^(1/2)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2)*arctan((a-b+c)*tan
(1/2*x)/(((-4*a*c+b^2)^(1/2)+a-c)*(a-b+c))^(1/2))-2/c*arctan(tan(1/2*x))

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \frac {2 \, c \int \frac {2 \, b^{2} \cos \left (3 \, x\right )^{2} + 2 \, b^{2} \cos \relax (x)^{2} + 2 \, b^{2} \sin \left (3 \, x\right )^{2} + 2 \, b^{2} \sin \relax (x)^{2} + 4 \, {\left (2 \, a^{2} + 3 \, a c + c^{2}\right )} \cos \left (2 \, x\right )^{2} + b c \cos \relax (x) + 4 \, {\left (2 \, a^{2} + 3 \, a c + c^{2}\right )} \sin \left (2 \, x\right )^{2} + 2 \, {\left (4 \, a b + 3 \, b c\right )} \sin \left (2 \, x\right ) \sin \relax (x) + {\left (b c \cos \left (3 \, x\right ) + b c \cos \relax (x) + 2 \, {\left (a c + c^{2}\right )} \cos \left (2 \, x\right )\right )} \cos \left (4 \, x\right ) + {\left (4 \, b^{2} \cos \relax (x) + b c + 2 \, {\left (4 \, a b + 3 \, b c\right )} \cos \left (2 \, x\right )\right )} \cos \left (3 \, x\right ) + 2 \, {\left (a c + c^{2} + {\left (4 \, a b + 3 \, b c\right )} \cos \relax (x)\right )} \cos \left (2 \, x\right ) + {\left (b c \sin \left (3 \, x\right ) + b c \sin \relax (x) + 2 \, {\left (a c + c^{2}\right )} \sin \left (2 \, x\right )\right )} \sin \left (4 \, x\right ) + 2 \, {\left (2 \, b^{2} \sin \relax (x) + {\left (4 \, a b + 3 \, b c\right )} \sin \left (2 \, x\right )\right )} \sin \left (3 \, x\right )}{c^{3} \cos \left (4 \, x\right )^{2} + 4 \, b^{2} c \cos \left (3 \, x\right )^{2} + 4 \, b^{2} c \cos \relax (x)^{2} + c^{3} \sin \left (4 \, x\right )^{2} + 4 \, b^{2} c \sin \left (3 \, x\right )^{2} + 4 \, b^{2} c \sin \relax (x)^{2} + 4 \, b c^{2} \cos \relax (x) + c^{3} + 4 \, {\left (4 \, a^{2} c + 4 \, a c^{2} + c^{3}\right )} \cos \left (2 \, x\right )^{2} + 4 \, {\left (4 \, a^{2} c + 4 \, a c^{2} + c^{3}\right )} \sin \left (2 \, x\right )^{2} + 8 \, {\left (2 \, a b c + b c^{2}\right )} \sin \left (2 \, x\right ) \sin \relax (x) + 2 \, {\left (2 \, b c^{2} \cos \left (3 \, x\right ) + 2 \, b c^{2} \cos \relax (x) + c^{3} + 2 \, {\left (2 \, a c^{2} + c^{3}\right )} \cos \left (2 \, x\right )\right )} \cos \left (4 \, x\right ) + 4 \, {\left (2 \, b^{2} c \cos \relax (x) + b c^{2} + 2 \, {\left (2 \, a b c + b c^{2}\right )} \cos \left (2 \, x\right )\right )} \cos \left (3 \, x\right ) + 4 \, {\left (2 \, a c^{2} + c^{3} + 2 \, {\left (2 \, a b c + b c^{2}\right )} \cos \relax (x)\right )} \cos \left (2 \, x\right ) + 4 \, {\left (b c^{2} \sin \left (3 \, x\right ) + b c^{2} \sin \relax (x) + {\left (2 \, a c^{2} + c^{3}\right )} \sin \left (2 \, x\right )\right )} \sin \left (4 \, x\right ) + 8 \, {\left (b^{2} c \sin \relax (x) + {\left (2 \, a b c + b c^{2}\right )} \sin \left (2 \, x\right )\right )} \sin \left (3 \, x\right )}\,{d x} - x}{c} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sin(x)^2/(a+b*cos(x)+c*cos(x)^2),x, algorithm="maxima")

[Out]

(c*integrate(2*(2*b^2*cos(3*x)^2 + 2*b^2*cos(x)^2 + 2*b^2*sin(3*x)^2 + 2*b^2*sin(x)^2 + 4*(2*a^2 + 3*a*c + c^2
)*cos(2*x)^2 + b*c*cos(x) + 4*(2*a^2 + 3*a*c + c^2)*sin(2*x)^2 + 2*(4*a*b + 3*b*c)*sin(2*x)*sin(x) + (b*c*cos(
3*x) + b*c*cos(x) + 2*(a*c + c^2)*cos(2*x))*cos(4*x) + (4*b^2*cos(x) + b*c + 2*(4*a*b + 3*b*c)*cos(2*x))*cos(3
*x) + 2*(a*c + c^2 + (4*a*b + 3*b*c)*cos(x))*cos(2*x) + (b*c*sin(3*x) + b*c*sin(x) + 2*(a*c + c^2)*sin(2*x))*s
in(4*x) + 2*(2*b^2*sin(x) + (4*a*b + 3*b*c)*sin(2*x))*sin(3*x))/(c^3*cos(4*x)^2 + 4*b^2*c*cos(3*x)^2 + 4*b^2*c
*cos(x)^2 + c^3*sin(4*x)^2 + 4*b^2*c*sin(3*x)^2 + 4*b^2*c*sin(x)^2 + 4*b*c^2*cos(x) + c^3 + 4*(4*a^2*c + 4*a*c
^2 + c^3)*cos(2*x)^2 + 4*(4*a^2*c + 4*a*c^2 + c^3)*sin(2*x)^2 + 8*(2*a*b*c + b*c^2)*sin(2*x)*sin(x) + 2*(2*b*c
^2*cos(3*x) + 2*b*c^2*cos(x) + c^3 + 2*(2*a*c^2 + c^3)*cos(2*x))*cos(4*x) + 4*(2*b^2*c*cos(x) + b*c^2 + 2*(2*a
*b*c + b*c^2)*cos(2*x))*cos(3*x) + 4*(2*a*c^2 + c^3 + 2*(2*a*b*c + b*c^2)*cos(x))*cos(2*x) + 4*(b*c^2*sin(3*x)
+ b*c^2*sin(x) + (2*a*c^2 + c^3)*sin(2*x))*sin(4*x) + 8*(b^2*c*sin(x) + (2*a*b*c + b*c^2)*sin(2*x))*sin(3*x))
, x) - x)/c

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 13.28, size = 16390, normalized size = 63.04 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sin(x)^2/(a + b*cos(x) + c*cos(x)^2),x)

[Out]

atan(((tan(x/2)*(57344*a^4*b - 57344*a*b^4 + 8192*a*c^4 + 8192*a^4*c + 57344*b*c^4 - 57344*b^4*c - 24576*a^5 +
24576*b^5 - 24576*c^5 + 49152*a^2*b^3 - 49152*a^3*b^2 + 147456*a^2*c^3 + 147456*a^3*c^2 - 49152*b^2*c^3 + 491
52*b^3*c^2 + 245760*a*b^2*c^2 - 442368*a^2*b*c^2 + 245760*a^2*b^2*c - 163840*a*b*c^3 - 32768*a*b^3*c - 163840*
a^3*b*c) + (-(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 +
b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(32768*a*b^5 - 253952*a*c^5 - 24576*a^5*c + 57344*b*c^5 + 57344*b^5*c - 24576*
b^6 - 24576*c^6 + 16384*a^2*b^4 - 32768*a^3*b^3 + 8192*a^4*b^2 - 638976*a^2*c^4 - 638976*a^3*c^3 - 253952*a^4*
c^2 + 24576*b^2*c^4 - 114688*b^3*c^3 + 24576*b^4*c^2 + (tan(x/2)*(16384*a*b^6 - 81920*a*c^6 + 49152*b*c^6 + 49
152*b^6*c - 16384*b^7 - 16384*c^7 + 16384*a^2*b^5 - 16384*a^3*b^4 + 229376*a^2*c^5 + 491520*a^3*c^4 + 49152*a^
4*c^3 - 147456*a^5*c^2 - 32768*b^2*c^5 - 32768*b^5*c^2 + 327680*a*b^3*c^3 - 425984*a*b^4*c^2 - 1015808*a^2*b*c
^4 - 180224*a^2*b^4*c - 983040*a^3*b*c^3 - 65536*a^3*b^3*c + 49152*a^4*b*c^2 + 98304*a^4*b^2*c + 851968*a^2*b^
2*c^3 + 131072*a^2*b^3*c^2 + 393216*a^3*b^2*c^2 + 65536*a*b*c^5 + 98304*a*b^5*c) + (-(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b
^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(24576
*b^2*c^6 - 393216*a^2*c^6 - 589824*a^3*c^5 - 393216*a^4*c^4 - 98304*a^5*c^3 - 98304*a*c^7 - 49152*b^3*c^5 + 49
152*b^5*c^3 - 24576*b^6*c^2 + 98304*a*b^2*c^5 - 344064*a*b^3*c^4 + 98304*a*b^4*c^3 + 49152*a*b^5*c^2 + 589824*
a^2*b*c^5 + 589824*a^3*b*c^4 + 196608*a^4*b*c^3 + 147456*a^2*b^2*c^4 - 344064*a^2*b^3*c^3 + 98304*a^3*b^2*c^3
- 49152*a^3*b^3*c^2 + 24576*a^4*b^2*c^2 + 196608*a*b*c^6 - tan(x/2)*(-(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) +
b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(65536*a*c^8 - 131072
*a^2*c^7 - 262144*a^3*c^6 + 131072*a^4*c^5 + 196608*a^5*c^4 - 16384*b^2*c^7 + 49152*b^3*c^6 - 65536*b^4*c^5 +
65536*b^5*c^4 - 49152*b^6*c^3 + 16384*b^7*c^2 + 294912*a*b^2*c^6 - 409600*a*b^3*c^5 + 376832*a*b^4*c^4 - 11468
8*a*b^5*c^3 - 16384*a*b^6*c^2 + 589824*a^2*b*c^6 + 720896*a^3*b*c^5 - 65536*a^4*b*c^4 - 655360*a^2*b^2*c^5 + 1
6384*a^2*b^3*c^4 + 196608*a^2*b^4*c^3 - 16384*a^2*b^5*c^2 - 557056*a^3*b^2*c^4 + 81920*a^3*b^3*c^3 + 16384*a^3
*b^4*c^2 - 114688*a^4*b^2*c^3 - 196608*a*b*c^7)))*(-(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 -
2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2) + 147456*a*b^2*c^3 - 458752*a*b^3*c^2 +
802816*a^2*b*c^3 - 245760*a^2*b^3*c + 557056*a^3*b*c^2 - 16384*a^3*b^2*c + 98304*a^2*b^2*c^2 + 425984*a*b*c^4
+ 106496*a*b^4*c + 122880*a^4*b*c))*(-(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6
*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*1i + (tan(x/2)*(57344*a^4*b - 57344*a*b^4 + 8192*a*c
^4 + 8192*a^4*c + 57344*b*c^4 - 57344*b^4*c - 24576*a^5 + 24576*b^5 - 24576*c^5 + 49152*a^2*b^3 - 49152*a^3*b^
2 + 147456*a^2*c^3 + 147456*a^3*c^2 - 49152*b^2*c^3 + 49152*b^3*c^2 + 245760*a*b^2*c^2 - 442368*a^2*b*c^2 + 24
5760*a^2*b^2*c - 163840*a*b*c^3 - 32768*a*b^3*c - 163840*a^3*b*c) - (-(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) +
b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(32768*a*b^5 - 253952
*a*c^5 - 24576*a^5*c + 57344*b*c^5 + 57344*b^5*c - 24576*b^6 - 24576*c^6 + 16384*a^2*b^4 - 32768*a^3*b^3 + 819
2*a^4*b^2 - 638976*a^2*c^4 - 638976*a^3*c^3 - 253952*a^4*c^2 + 24576*b^2*c^4 - 114688*b^3*c^3 + 24576*b^4*c^2
- (tan(x/2)*(16384*a*b^6 - 81920*a*c^6 + 49152*b*c^6 + 49152*b^6*c - 16384*b^7 - 16384*c^7 + 16384*a^2*b^5 - 1
6384*a^3*b^4 + 229376*a^2*c^5 + 491520*a^3*c^4 + 49152*a^4*c^3 - 147456*a^5*c^2 - 32768*b^2*c^5 - 32768*b^5*c^
2 + 327680*a*b^3*c^3 - 425984*a*b^4*c^2 - 1015808*a^2*b*c^4 - 180224*a^2*b^4*c - 983040*a^3*b*c^3 - 65536*a^3*
b^3*c + 49152*a^4*b*c^2 + 98304*a^4*b^2*c + 851968*a^2*b^2*c^3 + 131072*a^2*b^3*c^2 + 393216*a^3*b^2*c^2 + 655
36*a*b*c^5 + 98304*a*b^5*c) - (-(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*
c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(24576*b^2*c^6 - 393216*a^2*c^6 - 589824*a^3*c^5 - 393216*a
^4*c^4 - 98304*a^5*c^3 - 98304*a*c^7 - 49152*b^3*c^5 + 49152*b^5*c^3 - 24576*b^6*c^2 + 98304*a*b^2*c^5 - 34406
4*a*b^3*c^4 + 98304*a*b^4*c^3 + 49152*a*b^5*c^2 + 589824*a^2*b*c^5 + 589824*a^3*b*c^4 + 196608*a^4*b*c^3 + 147
456*a^2*b^2*c^4 - 344064*a^2*b^3*c^3 + 98304*a^3*b^2*c^3 - 49152*a^3*b^3*c^2 + 24576*a^4*b^2*c^2 + 196608*a*b*
c^6 + tan(x/2)*(-(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c
^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(65536*a*c^8 - 131072*a^2*c^7 - 262144*a^3*c^6 + 131072*a^4*c^5 + 196608*a
^5*c^4 - 16384*b^2*c^7 + 49152*b^3*c^6 - 65536*b^4*c^5 + 65536*b^5*c^4 - 49152*b^6*c^3 + 16384*b^7*c^2 + 29491
2*a*b^2*c^6 - 409600*a*b^3*c^5 + 376832*a*b^4*c^4 - 114688*a*b^5*c^3 - 16384*a*b^6*c^2 + 589824*a^2*b*c^6 + 72
0896*a^3*b*c^5 - 65536*a^4*b*c^4 - 655360*a^2*b^2*c^5 + 16384*a^2*b^3*c^4 + 196608*a^2*b^4*c^3 - 16384*a^2*b^5
*c^2 - 557056*a^3*b^2*c^4 + 81920*a^3*b^3*c^3 + 16384*a^3*b^4*c^2 - 114688*a^4*b^2*c^3 - 196608*a*b*c^7)))*(-(
8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a
*b^2*c^3)))^(1/2) + 147456*a*b^2*c^3 - 458752*a*b^3*c^2 + 802816*a^2*b*c^3 - 245760*a^2*b^3*c + 557056*a^3*b*c
^2 - 16384*a^3*b^2*c + 98304*a^2*b^2*c^2 + 425984*a*b*c^4 + 106496*a*b^4*c + 122880*a^4*b*c))*(-(8*a*c^3 + b*(
-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(
1/2)*1i)/((tan(x/2)*(57344*a^4*b - 57344*a*b^4 + 8192*a*c^4 + 8192*a^4*c + 57344*b*c^4 - 57344*b^4*c - 24576*a
^5 + 24576*b^5 - 24576*c^5 + 49152*a^2*b^3 - 49152*a^3*b^2 + 147456*a^2*c^3 + 147456*a^3*c^2 - 49152*b^2*c^3 +
49152*b^3*c^2 + 245760*a*b^2*c^2 - 442368*a^2*b*c^2 + 245760*a^2*b^2*c - 163840*a*b*c^3 - 32768*a*b^3*c - 163
840*a^3*b*c) - (-(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c
^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(32768*a*b^5 - 253952*a*c^5 - 24576*a^5*c + 57344*b*c^5 + 57344*b^5*c - 24
576*b^6 - 24576*c^6 + 16384*a^2*b^4 - 32768*a^3*b^3 + 8192*a^4*b^2 - 638976*a^2*c^4 - 638976*a^3*c^3 - 253952*
a^4*c^2 + 24576*b^2*c^4 - 114688*b^3*c^3 + 24576*b^4*c^2 - (tan(x/2)*(16384*a*b^6 - 81920*a*c^6 + 49152*b*c^6
+ 49152*b^6*c - 16384*b^7 - 16384*c^7 + 16384*a^2*b^5 - 16384*a^3*b^4 + 229376*a^2*c^5 + 491520*a^3*c^4 + 4915
2*a^4*c^3 - 147456*a^5*c^2 - 32768*b^2*c^5 - 32768*b^5*c^2 + 327680*a*b^3*c^3 - 425984*a*b^4*c^2 - 1015808*a^2
*b*c^4 - 180224*a^2*b^4*c - 983040*a^3*b*c^3 - 65536*a^3*b^3*c + 49152*a^4*b*c^2 + 98304*a^4*b^2*c + 851968*a^
2*b^2*c^3 + 131072*a^2*b^3*c^2 + 393216*a^3*b^2*c^2 + 65536*a*b*c^5 + 98304*a*b^5*c) - (-(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c
- b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(2
4576*b^2*c^6 - 393216*a^2*c^6 - 589824*a^3*c^5 - 393216*a^4*c^4 - 98304*a^5*c^3 - 98304*a*c^7 - 49152*b^3*c^5
+ 49152*b^5*c^3 - 24576*b^6*c^2 + 98304*a*b^2*c^5 - 344064*a*b^3*c^4 + 98304*a*b^4*c^3 + 49152*a*b^5*c^2 + 589
824*a^2*b*c^5 + 589824*a^3*b*c^4 + 196608*a^4*b*c^3 + 147456*a^2*b^2*c^4 - 344064*a^2*b^3*c^3 + 98304*a^3*b^2*
c^3 - 49152*a^3*b^3*c^2 + 24576*a^4*b^2*c^2 + 196608*a*b*c^6 + tan(x/2)*(-(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2
) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(65536*a*c^8 - 13
1072*a^2*c^7 - 262144*a^3*c^6 + 131072*a^4*c^5 + 196608*a^5*c^4 - 16384*b^2*c^7 + 49152*b^3*c^6 - 65536*b^4*c^
5 + 65536*b^5*c^4 - 49152*b^6*c^3 + 16384*b^7*c^2 + 294912*a*b^2*c^6 - 409600*a*b^3*c^5 + 376832*a*b^4*c^4 - 1
14688*a*b^5*c^3 - 16384*a*b^6*c^2 + 589824*a^2*b*c^6 + 720896*a^3*b*c^5 - 65536*a^4*b*c^4 - 655360*a^2*b^2*c^5
+ 16384*a^2*b^3*c^4 + 196608*a^2*b^4*c^3 - 16384*a^2*b^5*c^2 - 557056*a^3*b^2*c^4 + 81920*a^3*b^3*c^3 + 16384
*a^3*b^4*c^2 - 114688*a^4*b^2*c^3 - 196608*a*b*c^7)))*(-(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^
2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2) + 147456*a*b^2*c^3 - 458752*a*b^3*c
^2 + 802816*a^2*b*c^3 - 245760*a^2*b^3*c + 557056*a^3*b*c^2 - 16384*a^3*b^2*c + 98304*a^2*b^2*c^2 + 425984*a*b
*c^4 + 106496*a*b^4*c + 122880*a^4*b*c))*(-(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2
- 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2) - (tan(x/2)*(57344*a^4*b - 57344*a*b^4 + 8192*a*
c^4 + 8192*a^4*c + 57344*b*c^4 - 57344*b^4*c - 24576*a^5 + 24576*b^5 - 24576*c^5 + 49152*a^2*b^3 - 49152*a^3*b
^2 + 147456*a^2*c^3 + 147456*a^3*c^2 - 49152*b^2*c^3 + 49152*b^3*c^2 + 245760*a*b^2*c^2 - 442368*a^2*b*c^2 + 2
45760*a^2*b^2*c - 163840*a*b*c^3 - 32768*a*b^3*c - 163840*a^3*b*c) + (-(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) +
b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(32768*a*b^5 - 25395
2*a*c^5 - 24576*a^5*c + 57344*b*c^5 + 57344*b^5*c - 24576*b^6 - 24576*c^6 + 16384*a^2*b^4 - 32768*a^3*b^3 + 81
92*a^4*b^2 - 638976*a^2*c^4 - 638976*a^3*c^3 - 253952*a^4*c^2 + 24576*b^2*c^4 - 114688*b^3*c^3 + 24576*b^4*c^2
+ (tan(x/2)*(16384*a*b^6 - 81920*a*c^6 + 49152*b*c^6 + 49152*b^6*c - 16384*b^7 - 16384*c^7 + 16384*a^2*b^5 -
16384*a^3*b^4 + 229376*a^2*c^5 + 491520*a^3*c^4 + 49152*a^4*c^3 - 147456*a^5*c^2 - 32768*b^2*c^5 - 32768*b^5*c
^2 + 327680*a*b^3*c^3 - 425984*a*b^4*c^2 - 1015808*a^2*b*c^4 - 180224*a^2*b^4*c - 983040*a^3*b*c^3 - 65536*a^3
*b^3*c + 49152*a^4*b*c^2 + 98304*a^4*b^2*c + 851968*a^2*b^2*c^3 + 131072*a^2*b^3*c^2 + 393216*a^3*b^2*c^2 + 65
536*a*b*c^5 + 98304*a*b^5*c) + (-(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2
*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(24576*b^2*c^6 - 393216*a^2*c^6 - 589824*a^3*c^5 - 393216*
a^4*c^4 - 98304*a^5*c^3 - 98304*a*c^7 - 49152*b^3*c^5 + 49152*b^5*c^3 - 24576*b^6*c^2 + 98304*a*b^2*c^5 - 3440
64*a*b^3*c^4 + 98304*a*b^4*c^3 + 49152*a*b^5*c^2 + 589824*a^2*b*c^5 + 589824*a^3*b*c^4 + 196608*a^4*b*c^3 + 14
7456*a^2*b^2*c^4 - 344064*a^2*b^3*c^3 + 98304*a^3*b^2*c^3 - 49152*a^3*b^3*c^2 + 24576*a^4*b^2*c^2 + 196608*a*b
*c^6 - tan(x/2)*(-(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*
c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(65536*a*c^8 - 131072*a^2*c^7 - 262144*a^3*c^6 + 131072*a^4*c^5 + 196608*
a^5*c^4 - 16384*b^2*c^7 + 49152*b^3*c^6 - 65536*b^4*c^5 + 65536*b^5*c^4 - 49152*b^6*c^3 + 16384*b^7*c^2 + 2949
12*a*b^2*c^6 - 409600*a*b^3*c^5 + 376832*a*b^4*c^4 - 114688*a*b^5*c^3 - 16384*a*b^6*c^2 + 589824*a^2*b*c^6 + 7
20896*a^3*b*c^5 - 65536*a^4*b*c^4 - 655360*a^2*b^2*c^5 + 16384*a^2*b^3*c^4 + 196608*a^2*b^4*c^3 - 16384*a^2*b^
5*c^2 - 557056*a^3*b^2*c^4 + 81920*a^3*b^3*c^3 + 16384*a^3*b^4*c^2 - 114688*a^4*b^2*c^3 - 196608*a*b*c^7)))*(-
(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*
a*b^2*c^3)))^(1/2) + 147456*a*b^2*c^3 - 458752*a*b^3*c^2 + 802816*a^2*b*c^3 - 245760*a^2*b^3*c + 557056*a^3*b*
c^2 - 16384*a^3*b^2*c + 98304*a^2*b^2*c^2 + 425984*a*b*c^4 + 106496*a*b^4*c + 122880*a^4*b*c))*(-(8*a*c^3 + b*
(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^
(1/2) + 131072*a*b^3 - 131072*a^3*b + 262144*a*c^3 + 262144*a^3*c - 131072*b*c^3 + 131072*b^3*c + 65536*a^4 -
65536*b^4 + 65536*c^4 + 393216*a^2*c^2 - 393216*a*b*c^2 - 393216*a^2*b*c))*(-(8*a*c^3 + b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(
1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*2i + atan(((ta
n(x/2)*(57344*a^4*b - 57344*a*b^4 + 8192*a*c^4 + 8192*a^4*c + 57344*b*c^4 - 57344*b^4*c - 24576*a^5 + 24576*b^
5 - 24576*c^5 + 49152*a^2*b^3 - 49152*a^3*b^2 + 147456*a^2*c^3 + 147456*a^3*c^2 - 49152*b^2*c^3 + 49152*b^3*c^
2 + 245760*a*b^2*c^2 - 442368*a^2*b*c^2 + 245760*a^2*b^2*c - 163840*a*b*c^3 - 32768*a*b^3*c - 163840*a^3*b*c)
+ (-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2
- 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(32768*a*b^5 - 253952*a*c^5 - 24576*a^5*c + 57344*b*c^5 + 57344*b^5*c - 24576*b^6 - 245
76*c^6 + 16384*a^2*b^4 - 32768*a^3*b^3 + 8192*a^4*b^2 - 638976*a^2*c^4 - 638976*a^3*c^3 - 253952*a^4*c^2 + 245
76*b^2*c^4 - 114688*b^3*c^3 + 24576*b^4*c^2 + (tan(x/2)*(16384*a*b^6 - 81920*a*c^6 + 49152*b*c^6 + 49152*b^6*c
- 16384*b^7 - 16384*c^7 + 16384*a^2*b^5 - 16384*a^3*b^4 + 229376*a^2*c^5 + 491520*a^3*c^4 + 49152*a^4*c^3 - 1
47456*a^5*c^2 - 32768*b^2*c^5 - 32768*b^5*c^2 + 327680*a*b^3*c^3 - 425984*a*b^4*c^2 - 1015808*a^2*b*c^4 - 1802
24*a^2*b^4*c - 983040*a^3*b*c^3 - 65536*a^3*b^3*c + 49152*a^4*b*c^2 + 98304*a^4*b^2*c + 851968*a^2*b^2*c^3 + 1
31072*a^2*b^3*c^2 + 393216*a^3*b^2*c^2 + 65536*a*b*c^5 + 98304*a*b^5*c) + (-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1
/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(24576*b^2*c^6
- 393216*a^2*c^6 - 589824*a^3*c^5 - 393216*a^4*c^4 - 98304*a^5*c^3 - 98304*a*c^7 - 49152*b^3*c^5 + 49152*b^5*c
^3 - 24576*b^6*c^2 + 98304*a*b^2*c^5 - 344064*a*b^3*c^4 + 98304*a*b^4*c^3 + 49152*a*b^5*c^2 + 589824*a^2*b*c^5
+ 589824*a^3*b*c^4 + 196608*a^4*b*c^3 + 147456*a^2*b^2*c^4 - 344064*a^2*b^3*c^3 + 98304*a^3*b^2*c^3 - 49152*a
^3*b^3*c^2 + 24576*a^4*b^2*c^2 + 196608*a*b*c^6 - tan(x/2)*(-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a
^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(65536*a*c^8 - 131072*a^2*c^7
- 262144*a^3*c^6 + 131072*a^4*c^5 + 196608*a^5*c^4 - 16384*b^2*c^7 + 49152*b^3*c^6 - 65536*b^4*c^5 + 65536*b^5
*c^4 - 49152*b^6*c^3 + 16384*b^7*c^2 + 294912*a*b^2*c^6 - 409600*a*b^3*c^5 + 376832*a*b^4*c^4 - 114688*a*b^5*c
^3 - 16384*a*b^6*c^2 + 589824*a^2*b*c^6 + 720896*a^3*b*c^5 - 65536*a^4*b*c^4 - 655360*a^2*b^2*c^5 + 16384*a^2*
b^3*c^4 + 196608*a^2*b^4*c^3 - 16384*a^2*b^5*c^2 - 557056*a^3*b^2*c^4 + 81920*a^3*b^3*c^3 + 16384*a^3*b^4*c^2
- 114688*a^4*b^2*c^3 - 196608*a*b*c^7)))*(-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2
- 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2) + 147456*a*b^2*c^3 - 458752*a*b^3*c^2 + 802816*a
^2*b*c^3 - 245760*a^2*b^3*c + 557056*a^3*b*c^2 - 16384*a^3*b^2*c + 98304*a^2*b^2*c^2 + 425984*a*b*c^4 + 106496
*a*b^4*c + 122880*a^4*b*c))*(-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)
/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*1i + (tan(x/2)*(57344*a^4*b - 57344*a*b^4 + 8192*a*c^4 + 8192
*a^4*c + 57344*b*c^4 - 57344*b^4*c - 24576*a^5 + 24576*b^5 - 24576*c^5 + 49152*a^2*b^3 - 49152*a^3*b^2 + 14745
6*a^2*c^3 + 147456*a^3*c^2 - 49152*b^2*c^3 + 49152*b^3*c^2 + 245760*a*b^2*c^2 - 442368*a^2*b*c^2 + 245760*a^2*
b^2*c - 163840*a*b*c^3 - 32768*a*b^3*c - 163840*a^3*b*c) - (-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a
^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(32768*a*b^5 - 253952*a*c^5 -
24576*a^5*c + 57344*b*c^5 + 57344*b^5*c - 24576*b^6 - 24576*c^6 + 16384*a^2*b^4 - 32768*a^3*b^3 + 8192*a^4*b^2
- 638976*a^2*c^4 - 638976*a^3*c^3 - 253952*a^4*c^2 + 24576*b^2*c^4 - 114688*b^3*c^3 + 24576*b^4*c^2 - (tan(x/
2)*(16384*a*b^6 - 81920*a*c^6 + 49152*b*c^6 + 49152*b^6*c - 16384*b^7 - 16384*c^7 + 16384*a^2*b^5 - 16384*a^3*
b^4 + 229376*a^2*c^5 + 491520*a^3*c^4 + 49152*a^4*c^3 - 147456*a^5*c^2 - 32768*b^2*c^5 - 32768*b^5*c^2 + 32768
0*a*b^3*c^3 - 425984*a*b^4*c^2 - 1015808*a^2*b*c^4 - 180224*a^2*b^4*c - 983040*a^3*b*c^3 - 65536*a^3*b^3*c + 4
9152*a^4*b*c^2 + 98304*a^4*b^2*c + 851968*a^2*b^2*c^3 + 131072*a^2*b^3*c^2 + 393216*a^3*b^2*c^2 + 65536*a*b*c^
5 + 98304*a*b^5*c) - (-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16
*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(24576*b^2*c^6 - 393216*a^2*c^6 - 589824*a^3*c^5 - 393216*a^4*c^4 -
98304*a^5*c^3 - 98304*a*c^7 - 49152*b^3*c^5 + 49152*b^5*c^3 - 24576*b^6*c^2 + 98304*a*b^2*c^5 - 344064*a*b^3*c
^4 + 98304*a*b^4*c^3 + 49152*a*b^5*c^2 + 589824*a^2*b*c^5 + 589824*a^3*b*c^4 + 196608*a^4*b*c^3 + 147456*a^2*b
^2*c^4 - 344064*a^2*b^3*c^3 + 98304*a^3*b^2*c^3 - 49152*a^3*b^3*c^2 + 24576*a^4*b^2*c^2 + 196608*a*b*c^6 + tan
(x/2)*(-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*
c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(65536*a*c^8 - 131072*a^2*c^7 - 262144*a^3*c^6 + 131072*a^4*c^5 + 196608*a^5*c^4 -
16384*b^2*c^7 + 49152*b^3*c^6 - 65536*b^4*c^5 + 65536*b^5*c^4 - 49152*b^6*c^3 + 16384*b^7*c^2 + 294912*a*b^2*c
^6 - 409600*a*b^3*c^5 + 376832*a*b^4*c^4 - 114688*a*b^5*c^3 - 16384*a*b^6*c^2 + 589824*a^2*b*c^6 + 720896*a^3*
b*c^5 - 65536*a^4*b*c^4 - 655360*a^2*b^2*c^5 + 16384*a^2*b^3*c^4 + 196608*a^2*b^4*c^3 - 16384*a^2*b^5*c^2 - 55
7056*a^3*b^2*c^4 + 81920*a^3*b^3*c^3 + 16384*a^3*b^4*c^2 - 114688*a^4*b^2*c^3 - 196608*a*b*c^7)))*(-(8*a*c^3 -
b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)
))^(1/2) + 147456*a*b^2*c^3 - 458752*a*b^3*c^2 + 802816*a^2*b*c^3 - 245760*a^2*b^3*c + 557056*a^3*b*c^2 - 1638
4*a^3*b^2*c + 98304*a^2*b^2*c^2 + 425984*a*b*c^4 + 106496*a*b^4*c + 122880*a^4*b*c))*(-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c -
b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*1i)/
((tan(x/2)*(57344*a^4*b - 57344*a*b^4 + 8192*a*c^4 + 8192*a^4*c + 57344*b*c^4 - 57344*b^4*c - 24576*a^5 + 2457
6*b^5 - 24576*c^5 + 49152*a^2*b^3 - 49152*a^3*b^2 + 147456*a^2*c^3 + 147456*a^3*c^2 - 49152*b^2*c^3 + 49152*b^
3*c^2 + 245760*a*b^2*c^2 - 442368*a^2*b*c^2 + 245760*a^2*b^2*c - 163840*a*b*c^3 - 32768*a*b^3*c - 163840*a^3*b
*c) - (-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*
c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(32768*a*b^5 - 253952*a*c^5 - 24576*a^5*c + 57344*b*c^5 + 57344*b^5*c - 24576*b^6 -
24576*c^6 + 16384*a^2*b^4 - 32768*a^3*b^3 + 8192*a^4*b^2 - 638976*a^2*c^4 - 638976*a^3*c^3 - 253952*a^4*c^2 +
24576*b^2*c^4 - 114688*b^3*c^3 + 24576*b^4*c^2 - (tan(x/2)*(16384*a*b^6 - 81920*a*c^6 + 49152*b*c^6 + 49152*b
^6*c - 16384*b^7 - 16384*c^7 + 16384*a^2*b^5 - 16384*a^3*b^4 + 229376*a^2*c^5 + 491520*a^3*c^4 + 49152*a^4*c^3
- 147456*a^5*c^2 - 32768*b^2*c^5 - 32768*b^5*c^2 + 327680*a*b^3*c^3 - 425984*a*b^4*c^2 - 1015808*a^2*b*c^4 -
180224*a^2*b^4*c - 983040*a^3*b*c^3 - 65536*a^3*b^3*c + 49152*a^4*b*c^2 + 98304*a^4*b^2*c + 851968*a^2*b^2*c^3
+ 131072*a^2*b^3*c^2 + 393216*a^3*b^2*c^2 + 65536*a*b*c^5 + 98304*a*b^5*c) - (-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c - b^2)^3
)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(24576*b^2*
c^6 - 393216*a^2*c^6 - 589824*a^3*c^5 - 393216*a^4*c^4 - 98304*a^5*c^3 - 98304*a*c^7 - 49152*b^3*c^5 + 49152*b
^5*c^3 - 24576*b^6*c^2 + 98304*a*b^2*c^5 - 344064*a*b^3*c^4 + 98304*a*b^4*c^3 + 49152*a*b^5*c^2 + 589824*a^2*b
*c^5 + 589824*a^3*b*c^4 + 196608*a^4*b*c^3 + 147456*a^2*b^2*c^4 - 344064*a^2*b^3*c^3 + 98304*a^3*b^2*c^3 - 491
52*a^3*b^3*c^2 + 24576*a^4*b^2*c^2 + 196608*a*b*c^6 + tan(x/2)*(-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 +
8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(65536*a*c^8 - 131072*a^2*
c^7 - 262144*a^3*c^6 + 131072*a^4*c^5 + 196608*a^5*c^4 - 16384*b^2*c^7 + 49152*b^3*c^6 - 65536*b^4*c^5 + 65536
*b^5*c^4 - 49152*b^6*c^3 + 16384*b^7*c^2 + 294912*a*b^2*c^6 - 409600*a*b^3*c^5 + 376832*a*b^4*c^4 - 114688*a*b
^5*c^3 - 16384*a*b^6*c^2 + 589824*a^2*b*c^6 + 720896*a^3*b*c^5 - 65536*a^4*b*c^4 - 655360*a^2*b^2*c^5 + 16384*
a^2*b^3*c^4 + 196608*a^2*b^4*c^3 - 16384*a^2*b^5*c^2 - 557056*a^3*b^2*c^4 + 81920*a^3*b^3*c^3 + 16384*a^3*b^4*
c^2 - 114688*a^4*b^2*c^3 - 196608*a*b*c^7)))*(-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2
*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2) + 147456*a*b^2*c^3 - 458752*a*b^3*c^2 + 8028
16*a^2*b*c^3 - 245760*a^2*b^3*c + 557056*a^3*b*c^2 - 16384*a^3*b^2*c + 98304*a^2*b^2*c^2 + 425984*a*b*c^4 + 10
6496*a*b^4*c + 122880*a^4*b*c))*(-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^
2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2) - (tan(x/2)*(57344*a^4*b - 57344*a*b^4 + 8192*a*c^4 + 819
2*a^4*c + 57344*b*c^4 - 57344*b^4*c - 24576*a^5 + 24576*b^5 - 24576*c^5 + 49152*a^2*b^3 - 49152*a^3*b^2 + 1474
56*a^2*c^3 + 147456*a^3*c^2 - 49152*b^2*c^3 + 49152*b^3*c^2 + 245760*a*b^2*c^2 - 442368*a^2*b*c^2 + 245760*a^2
*b^2*c - 163840*a*b*c^3 - 32768*a*b^3*c - 163840*a^3*b*c) + (-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*
a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(32768*a*b^5 - 253952*a*c^5 -
24576*a^5*c + 57344*b*c^5 + 57344*b^5*c - 24576*b^6 - 24576*c^6 + 16384*a^2*b^4 - 32768*a^3*b^3 + 8192*a^4*b^
2 - 638976*a^2*c^4 - 638976*a^3*c^3 - 253952*a^4*c^2 + 24576*b^2*c^4 - 114688*b^3*c^3 + 24576*b^4*c^2 + (tan(x
/2)*(16384*a*b^6 - 81920*a*c^6 + 49152*b*c^6 + 49152*b^6*c - 16384*b^7 - 16384*c^7 + 16384*a^2*b^5 - 16384*a^3
*b^4 + 229376*a^2*c^5 + 491520*a^3*c^4 + 49152*a^4*c^3 - 147456*a^5*c^2 - 32768*b^2*c^5 - 32768*b^5*c^2 + 3276
80*a*b^3*c^3 - 425984*a*b^4*c^2 - 1015808*a^2*b*c^4 - 180224*a^2*b^4*c - 983040*a^3*b*c^3 - 65536*a^3*b^3*c +
49152*a^4*b*c^2 + 98304*a^4*b^2*c + 851968*a^2*b^2*c^3 + 131072*a^2*b^3*c^2 + 393216*a^3*b^2*c^2 + 65536*a*b*c
^5 + 98304*a*b^5*c) + (-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(1
6*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(24576*b^2*c^6 - 393216*a^2*c^6 - 589824*a^3*c^5 - 393216*a^4*c^4 -
98304*a^5*c^3 - 98304*a*c^7 - 49152*b^3*c^5 + 49152*b^5*c^3 - 24576*b^6*c^2 + 98304*a*b^2*c^5 - 344064*a*b^3*
c^4 + 98304*a*b^4*c^3 + 49152*a*b^5*c^2 + 589824*a^2*b*c^5 + 589824*a^3*b*c^4 + 196608*a^4*b*c^3 + 147456*a^2*
b^2*c^4 - 344064*a^2*b^3*c^3 + 98304*a^3*b^2*c^3 - 49152*a^3*b^3*c^2 + 24576*a^4*b^2*c^2 + 196608*a*b*c^6 - ta
n(x/2)*(-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4
*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*(65536*a*c^8 - 131072*a^2*c^7 - 262144*a^3*c^6 + 131072*a^4*c^5 + 196608*a^5*c^4 -
16384*b^2*c^7 + 49152*b^3*c^6 - 65536*b^4*c^5 + 65536*b^5*c^4 - 49152*b^6*c^3 + 16384*b^7*c^2 + 294912*a*b^2*
c^6 - 409600*a*b^3*c^5 + 376832*a*b^4*c^4 - 114688*a*b^5*c^3 - 16384*a*b^6*c^2 + 589824*a^2*b*c^6 + 720896*a^3
*b*c^5 - 65536*a^4*b*c^4 - 655360*a^2*b^2*c^5 + 16384*a^2*b^3*c^4 + 196608*a^2*b^4*c^3 - 16384*a^2*b^5*c^2 - 5
57056*a^3*b^2*c^4 + 81920*a^3*b^3*c^3 + 16384*a^3*b^4*c^2 - 114688*a^4*b^2*c^3 - 196608*a*b*c^7)))*(-(8*a*c^3
- b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3
)))^(1/2) + 147456*a*b^2*c^3 - 458752*a*b^3*c^2 + 802816*a^2*b*c^3 - 245760*a^2*b^3*c + 557056*a^3*b*c^2 - 163
84*a^3*b^2*c + 98304*a^2*b^2*c^2 + 425984*a*b*c^4 + 106496*a*b^4*c + 122880*a^4*b*c))*(-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c
- b^2)^3)^(1/2) + b^4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2) + 1
31072*a*b^3 - 131072*a^3*b + 262144*a*c^3 + 262144*a^3*c - 131072*b*c^3 + 131072*b^3*c + 65536*a^4 - 65536*b^4
+ 65536*c^4 + 393216*a^2*c^2 - 393216*a*b*c^2 - 393216*a^2*b*c))*(-(8*a*c^3 - b*(-(4*a*c - b^2)^3)^(1/2) + b^
4 + 8*a^2*c^2 - 2*b^2*c^2 - 6*a*b^2*c)/(2*(16*a^2*c^4 + b^4*c^2 - 8*a*b^2*c^3)))^(1/2)*2i - (2*atan((344064*a^
4*tan(x/2))/(163840*a^3*c - 196608*a^3*b - 49152*a*c^3 - 98304*a*b^3 - 16384*b*c^3 + 344064*a^4 - 16384*b^4 +
16384*c^4 - 98304*a^2*b^2 - 98304*a^2*c^2 + (147456*a^5)/c + (16384*b^5)/c + (16384*a*b^4)/c - (147456*a^4*b)/
c - (32768*a*b^5)/c^2 + (196608*a^2*b^3)/c - (229376*a^3*b^2)/c + (32768*a^2*b^4)/c^2 + (32768*a^3*b^3)/c^2 -
(32768*a^4*b^2)/c^2 + 65536*a*b*c^2 + 98304*a*b^2*c + 32768*a^2*b*c) - (16384*b^4*tan(x/2))/(163840*a^3*c - 19
6608*a^3*b - 49152*a*c^3 - 98304*a*b^3 - 16384*b*c^3 + 344064*a^4 - 16384*b^4 + 16384*c^4 - 98304*a^2*b^2 - 98
304*a^2*c^2 + (147456*a^5)/c + (16384*b^5)/c + (16384*a*b^4)/c - (147456*a^4*b)/c - (32768*a*b^5)/c^2 + (19660
8*a^2*b^3)/c - (229376*a^3*b^2)/c + (32768*a^2*b^4)/c^2 + (32768*a^3*b^3)/c^2 - (32768*a^4*b^2)/c^2 + 65536*a*
b*c^2 + 98304*a*b^2*c + 32768*a^2*b*c) + (16384*c^4*tan(x/2))/(163840*a^3*c - 196608*a^3*b - 49152*a*c^3 - 983
04*a*b^3 - 16384*b*c^3 + 344064*a^4 - 16384*b^4 + 16384*c^4 - 98304*a^2*b^2 - 98304*a^2*c^2 + (147456*a^5)/c +
(16384*b^5)/c + (16384*a*b^4)/c - (147456*a^4*b)/c - (32768*a*b^5)/c^2 + (196608*a^2*b^3)/c - (229376*a^3*b^2
)/c + (32768*a^2*b^4)/c^2 + (32768*a^3*b^3)/c^2 - (32768*a^4*b^2)/c^2 + 65536*a*b*c^2 + 98304*a*b^2*c + 32768*
a^2*b*c) + (147456*a^5*tan(x/2))/(16384*a*b^4 - 147456*a^4*b - 49152*a*c^4 + 344064*a^4*c - 16384*b*c^4 - 1638
4*b^4*c + 147456*a^5 + 16384*b^5 + 16384*c^5 + 196608*a^2*b^3 - 229376*a^3*b^2 - 98304*a^2*c^3 + 163840*a^3*c^
2 + 98304*a*b^2*c^2 + 32768*a^2*b*c^2 - 98304*a^2*b^2*c - (32768*a*b^5)/c + (32768*a^2*b^4)/c + (32768*a^3*b^3
)/c - (32768*a^4*b^2)/c + 65536*a*b*c^3 - 98304*a*b^3*c - 196608*a^3*b*c) + (16384*b^5*tan(x/2))/(16384*a*b^4
- 147456*a^4*b - 49152*a*c^4 + 344064*a^4*c - 16384*b*c^4 - 16384*b^4*c + 147456*a^5 + 16384*b^5 + 16384*c^5 +
196608*a^2*b^3 - 229376*a^3*b^2 - 98304*a^2*c^3 + 163840*a^3*c^2 + 98304*a*b^2*c^2 + 32768*a^2*b*c^2 - 98304*
a^2*b^2*c - (32768*a*b^5)/c + (32768*a^2*b^4)/c + (32768*a^3*b^3)/c - (32768*a^4*b^2)/c + 65536*a*b*c^3 - 9830
4*a*b^3*c - 196608*a^3*b*c) - (98304*a^2*b^2*tan(x/2))/(163840*a^3*c - 196608*a^3*b - 49152*a*c^3 - 98304*a*b^
3 - 16384*b*c^3 + 344064*a^4 - 16384*b^4 + 16384*c^4 - 98304*a^2*b^2 - 98304*a^2*c^2 + (147456*a^5)/c + (16384
*b^5)/c + (16384*a*b^4)/c - (147456*a^4*b)/c - (32768*a*b^5)/c^2 + (196608*a^2*b^3)/c - (229376*a^3*b^2)/c + (
32768*a^2*b^4)/c^2 + (32768*a^3*b^3)/c^2 - (32768*a^4*b^2)/c^2 + 65536*a*b*c^2 + 98304*a*b^2*c + 32768*a^2*b*c
) - (98304*a^2*c^2*tan(x/2))/(163840*a^3*c - 196608*a^3*b - 49152*a*c^3 - 98304*a*b^3 - 16384*b*c^3 + 344064*a
^4 - 16384*b^4 + 16384*c^4 - 98304*a^2*b^2 - 98304*a^2*c^2 + (147456*a^5)/c + (16384*b^5)/c + (16384*a*b^4)/c
- (147456*a^4*b)/c - (32768*a*b^5)/c^2 + (196608*a^2*b^3)/c - (229376*a^3*b^2)/c + (32768*a^2*b^4)/c^2 + (3276
8*a^3*b^3)/c^2 - (32768*a^4*b^2)/c^2 + 65536*a*b*c^2 + 98304*a*b^2*c + 32768*a^2*b*c) + (16384*a*b^4*tan(x/2))
/(16384*a*b^4 - 147456*a^4*b - 49152*a*c^4 + 344064*a^4*c - 16384*b*c^4 - 16384*b^4*c + 147456*a^5 + 16384*b^5
+ 16384*c^5 + 196608*a^2*b^3 - 229376*a^3*b^2 - 98304*a^2*c^3 + 163840*a^3*c^2 + 98304*a*b^2*c^2 + 32768*a^2*
b*c^2 - 98304*a^2*b^2*c - (32768*a*b^5)/c + (32768*a^2*b^4)/c + (32768*a^3*b^3)/c - (32768*a^4*b^2)/c + 65536*
a*b*c^3 - 98304*a*b^3*c - 196608*a^3*b*c) - (147456*a^4*b*tan(x/2))/(16384*a*b^4 - 147456*a^4*b - 49152*a*c^4
+ 344064*a^4*c - 16384*b*c^4 - 16384*b^4*c + 147456*a^5 + 16384*b^5 + 16384*c^5 + 196608*a^2*b^3 - 229376*a^3*
b^2 - 98304*a^2*c^3 + 163840*a^3*c^2 + 98304*a*b^2*c^2 + 32768*a^2*b*c^2 - 98304*a^2*b^2*c - (32768*a*b^5)/c +
(32768*a^2*b^4)/c + (32768*a^3*b^3)/c - (32768*a^4*b^2)/c + 65536*a*b*c^3 - 98304*a*b^3*c - 196608*a^3*b*c) -
(32768*a*b^5*tan(x/2))/(147456*a^5*c - 49152*a*c^5 - 32768*a*b^5 - 16384*b*c^5 + 16384*b^5*c + 16384*c^6 + 32
768*a^2*b^4 + 32768*a^3*b^3 - 32768*a^4*b^2 - 98304*a^2*c^4 + 163840*a^3*c^3 + 344064*a^4*c^2 - 16384*b^4*c^2
+ 98304*a*b^2*c^3 - 98304*a*b^3*c^2 + 32768*a^2*b*c^3 + 196608*a^2*b^3*c - 196608*a^3*b*c^2 - 229376*a^3*b^2*c
- 98304*a^2*b^2*c^2 + 65536*a*b*c^4 + 16384*a*b^4*c - 147456*a^4*b*c) + (196608*a^2*b^3*tan(x/2))/(16384*a*b^
4 - 147456*a^4*b - 49152*a*c^4 + 344064*a^4*c - 16384*b*c^4 - 16384*b^4*c + 147456*a^5 + 16384*b^5 + 16384*c^5
+ 196608*a^2*b^3 - 229376*a^3*b^2 - 98304*a^2*c^3 + 163840*a^3*c^2 + 98304*a*b^2*c^2 + 32768*a^2*b*c^2 - 9830
4*a^2*b^2*c - (32768*a*b^5)/c + (32768*a^2*b^4)/c + (32768*a^3*b^3)/c - (32768*a^4*b^2)/c + 65536*a*b*c^3 - 98
304*a*b^3*c - 196608*a^3*b*c) - (229376*a^3*b^2*tan(x/2))/(16384*a*b^4 - 147456*a^4*b - 49152*a*c^4 + 344064*a
^4*c - 16384*b*c^4 - 16384*b^4*c + 147456*a^5 + 16384*b^5 + 16384*c^5 + 196608*a^2*b^3 - 229376*a^3*b^2 - 9830
4*a^2*c^3 + 163840*a^3*c^2 + 98304*a*b^2*c^2 + 32768*a^2*b*c^2 - 98304*a^2*b^2*c - (32768*a*b^5)/c + (32768*a^
2*b^4)/c + (32768*a^3*b^3)/c - (32768*a^4*b^2)/c + 65536*a*b*c^3 - 98304*a*b^3*c - 196608*a^3*b*c) - (98304*a*
b^3*tan(x/2))/(163840*a^3*c - 196608*a^3*b - 49152*a*c^3 - 98304*a*b^3 - 16384*b*c^3 + 344064*a^4 - 16384*b^4
+ 16384*c^4 - 98304*a^2*b^2 - 98304*a^2*c^2 + (147456*a^5)/c + (16384*b^5)/c + (16384*a*b^4)/c - (147456*a^4*b
)/c - (32768*a*b^5)/c^2 + (196608*a^2*b^3)/c - (229376*a^3*b^2)/c + (32768*a^2*b^4)/c^2 + (32768*a^3*b^3)/c^2
- (32768*a^4*b^2)/c^2 + 65536*a*b*c^2 + 98304*a*b^2*c + 32768*a^2*b*c) - (196608*a^3*b*tan(x/2))/(163840*a^3*c
- 196608*a^3*b - 49152*a*c^3 - 98304*a*b^3 - 16384*b*c^3 + 344064*a^4 - 16384*b^4 + 16384*c^4 - 98304*a^2*b^2
- 98304*a^2*c^2 + (147456*a^5)/c + (16384*b^5)/c + (16384*a*b^4)/c - (147456*a^4*b)/c - (32768*a*b^5)/c^2 + (
196608*a^2*b^3)/c - (229376*a^3*b^2)/c + (32768*a^2*b^4)/c^2 + (32768*a^3*b^3)/c^2 - (32768*a^4*b^2)/c^2 + 655
36*a*b*c^2 + 98304*a*b^2*c + 32768*a^2*b*c) - (49152*a*c^3*tan(x/2))/(163840*a^3*c - 196608*a^3*b - 49152*a*c^
3 - 98304*a*b^3 - 16384*b*c^3 + 344064*a^4 - 16384*b^4 + 16384*c^4 - 98304*a^2*b^2 - 98304*a^2*c^2 + (147456*a
^5)/c + (16384*b^5)/c + (16384*a*b^4)/c - (147456*a^4*b)/c - (32768*a*b^5)/c^2 + (196608*a^2*b^3)/c - (229376*
a^3*b^2)/c + (32768*a^2*b^4)/c^2 + (32768*a^3*b^3)/c^2 - (32768*a^4*b^2)/c^2 + 65536*a*b*c^2 + 98304*a*b^2*c +
32768*a^2*b*c) + (163840*a^3*c*tan(x/2))/(163840*a^3*c - 196608*a^3*b - 49152*a*c^3 - 98304*a*b^3 - 16384*b*c
^3 + 344064*a^4 - 16384*b^4 + 16384*c^4 - 98304*a^2*b^2 - 98304*a^2*c^2 + (147456*a^5)/c + (16384*b^5)/c + (16
384*a*b^4)/c - (147456*a^4*b)/c - (32768*a*b^5)/c^2 + (196608*a^2*b^3)/c - (229376*a^3*b^2)/c + (32768*a^2*b^4
)/c^2 + (32768*a^3*b^3)/c^2 - (32768*a^4*b^2)/c^2 + 65536*a*b*c^2 + 98304*a*b^2*c + 32768*a^2*b*c) - (16384*b*
c^3*tan(x/2))/(163840*a^3*c - 196608*a^3*b - 49152*a*c^3 - 98304*a*b^3 - 16384*b*c^3 + 344064*a^4 - 16384*b^4
+ 16384*c^4 - 98304*a^2*b^2 - 98304*a^2*c^2 + (147456*a^5)/c + (16384*b^5)/c + (16384*a*b^4)/c - (147456*a^4*b
)/c - (32768*a*b^5)/c^2 + (196608*a^2*b^3)/c - (229376*a^3*b^2)/c + (32768*a^2*b^4)/c^2 + (32768*a^3*b^3)/c^2
- (32768*a^4*b^2)/c^2 + 65536*a*b*c^2 + 98304*a*b^2*c + 32768*a^2*b*c) + (32768*a^2*b^4*tan(x/2))/(147456*a^5*
c - 49152*a*c^5 - 32768*a*b^5 - 16384*b*c^5 + 16384*b^5*c + 16384*c^6 + 32768*a^2*b^4 + 32768*a^3*b^3 - 32768*
a^4*b^2 - 98304*a^2*c^4 + 163840*a^3*c^3 + 344064*a^4*c^2 - 16384*b^4*c^2 + 98304*a*b^2*c^3 - 98304*a*b^3*c^2
+ 32768*a^2*b*c^3 + 196608*a^2*b^3*c - 196608*a^3*b*c^2 - 229376*a^3*b^2*c - 98304*a^2*b^2*c^2 + 65536*a*b*c^4
+ 16384*a*b^4*c - 147456*a^4*b*c) + (32768*a^3*b^3*tan(x/2))/(147456*a^5*c - 49152*a*c^5 - 32768*a*b^5 - 1638
4*b*c^5 + 16384*b^5*c + 16384*c^6 + 32768*a^2*b^4 + 32768*a^3*b^3 - 32768*a^4*b^2 - 98304*a^2*c^4 + 163840*a^3
*c^3 + 344064*a^4*c^2 - 16384*b^4*c^2 + 98304*a*b^2*c^3 - 98304*a*b^3*c^2 + 32768*a^2*b*c^3 + 196608*a^2*b^3*c
- 196608*a^3*b*c^2 - 229376*a^3*b^2*c - 98304*a^2*b^2*c^2 + 65536*a*b*c^4 + 16384*a*b^4*c - 147456*a^4*b*c) -
(32768*a^4*b^2*tan(x/2))/(147456*a^5*c - 49152*a*c^5 - 32768*a*b^5 - 16384*b*c^5 + 16384*b^5*c + 16384*c^6 +
32768*a^2*b^4 + 32768*a^3*b^3 - 32768*a^4*b^2 - 98304*a^2*c^4 + 163840*a^3*c^3 + 344064*a^4*c^2 - 16384*b^4*c^
2 + 98304*a*b^2*c^3 - 98304*a*b^3*c^2 + 32768*a^2*b*c^3 + 196608*a^2*b^3*c - 196608*a^3*b*c^2 - 229376*a^3*b^2
*c - 98304*a^2*b^2*c^2 + 65536*a*b*c^4 + 16384*a*b^4*c - 147456*a^4*b*c) + (65536*a*b*c^2*tan(x/2))/(163840*a^
3*c - 196608*a^3*b - 49152*a*c^3 - 98304*a*b^3 - 16384*b*c^3 + 344064*a^4 - 16384*b^4 + 16384*c^4 - 98304*a^2*
b^2 - 98304*a^2*c^2 + (147456*a^5)/c + (16384*b^5)/c + (16384*a*b^4)/c - (147456*a^4*b)/c - (32768*a*b^5)/c^2
+ (196608*a^2*b^3)/c - (229376*a^3*b^2)/c + (32768*a^2*b^4)/c^2 + (32768*a^3*b^3)/c^2 - (32768*a^4*b^2)/c^2 +
65536*a*b*c^2 + 98304*a*b^2*c + 32768*a^2*b*c) + (98304*a*b^2*c*tan(x/2))/(163840*a^3*c - 196608*a^3*b - 49152
*a*c^3 - 98304*a*b^3 - 16384*b*c^3 + 344064*a^4 - 16384*b^4 + 16384*c^4 - 98304*a^2*b^2 - 98304*a^2*c^2 + (147
456*a^5)/c + (16384*b^5)/c + (16384*a*b^4)/c - (147456*a^4*b)/c - (32768*a*b^5)/c^2 + (196608*a^2*b^3)/c - (22
9376*a^3*b^2)/c + (32768*a^2*b^4)/c^2 + (32768*a^3*b^3)/c^2 - (32768*a^4*b^2)/c^2 + 65536*a*b*c^2 + 98304*a*b^
2*c + 32768*a^2*b*c) + (32768*a^2*b*c*tan(x/2))/(163840*a^3*c - 196608*a^3*b - 49152*a*c^3 - 98304*a*b^3 - 163
84*b*c^3 + 344064*a^4 - 16384*b^4 + 16384*c^4 - 98304*a^2*b^2 - 98304*a^2*c^2 + (147456*a^5)/c + (16384*b^5)/c
+ (16384*a*b^4)/c - (147456*a^4*b)/c - (32768*a*b^5)/c^2 + (196608*a^2*b^3)/c - (229376*a^3*b^2)/c + (32768*a
^2*b^4)/c^2 + (32768*a^3*b^3)/c^2 - (32768*a^4*b^2)/c^2 + 65536*a*b*c^2 + 98304*a*b^2*c + 32768*a^2*b*c)))/c

________________________________________________________________________________________

sympy [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sin(x)**2/(a+b*cos(x)+c*cos(x)**2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________